Βάζετε όλα τα υλικά για τη ζύμη σε ένα μπολ και ζυμώνετε με το χέρι μέχρι να γίνει ομοιόμορφη, εύπλαστη και απαλή. Την καλύπτετε με πλαστική μεμβράνη και τη βάζετε στην κατάψυξη. Σε μία κατσαρόλα σοτάρετε με το βούτυρο, το κρεμμύδι, τα μανιτάρια και τα καρότα. Σε ένα μπολ ανακατεύετε όλα τα υπόλοιπα υλικά και στο τέλος προσθέτετε τα σοταρισμένα υλικά. Χωρίζετε τη ζύμη στα 2 και ανοίγετε 2 στρογγυλά μεγάλα φύλλα. Απλώνετε το ένα φύλλο σε ένα βουτυρωμένο και αλευρωμένο ταψί διαμέτρου 35 εκ. καλύπτοντας και τα πλαινά. Αδειάζετε την γέμιση και καλύπτετε με το δεύτερο φύλλο. Αλείφετε την επιφάνεια με το αυγό και ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180° αέρα για 35-40 λεπτά περίπου.